add_filter('get_the_nolink_category', function($category, $categories) {
  $post_type = get_post_type();

  // カスタム投稿の場合
  if ($post_type !== 'post') {

    // タクソノミーを取得
    $taxonomies = get_object_taxonomies($post_type);
    // タームを取得
    $args = array(
      'order'   => 'ASC',
      'orderby' => 'name',
    );
    $terms = wp_get_post_terms(get_the_ID(), $taxonomies, $args);

    if ($terms && !is_wp_error($terms)) {
      // ターム情報を取得し、最初のタームを設定
      $category = $terms[0];

      // $categoryにcat_IDとcat_nameを設定
      $category = (object) array(
        'cat_ID' => $category->term_id,  // term_idをcat_IDとして設定
        'cat_name' => $category->name    // termの名前をcat_nameとして設定
      );

      var_dump($category);  // デバッグ用に表示
    }
  }

  // $categoryを返す
  return $category;
}, 10, 2);